根据您提供的信息，考虑孩子可能患有过敏性咳嗽，这与嗜酸性粒细胞增多和过敏体质有关。建议使用西替利嗪滴剂进行治疗，并配合易坦静化痰止咳。同时，注意多喝水，饮食清淡，避免人多的地方，增强免疫力。

如果症状仍未改善，可以考虑长期使用西替利嗪或孟鲁司特钠，并配合雾化治疗。布地奈德和异丙托溴铵是常用的雾化药物。同时，注意生活方式的调整，避免接触过敏原，保持室内空气清新。