如果确诊为细菌感染引起的牙龈脓肿和咳嗽，且没有青霉素过敏史，可以使用青霉素进行治疗。请注意，使用青霉素时要遵循医嘱，避免与含酒精的饮料同服。同时，建议孩子多喝水，保持口腔清洁，避免吃辛辣刺激性食物。

是的，需要开具处方。您可以按照以下步骤进行操作：①点击药品页面【立即购买】；②补充用药人信息后，选择用药人及线下已经确诊的疾病；③点击下方【免费问诊开方】；④后台医生判断后为您开具处方；⑤点击【立即购买】。如果您暂无其他问题，稍后将结束本次会话。祝您生活愉快！