根据您提供的信息，孩子可能患有鼻窦炎。阿奇霉素可以用于治疗鼻窦炎引起的咳嗽。请按照说明书用药，注意禁忌症和注意事项。同时，多喝水，避免与奶制品和抗酸药同时服用。

对于20kg的儿童，阿奇霉素颗粒的用法是每天口服一次，1次2袋，连用3天。阿奇霉素药物释放速度慢，一般用3天就可以了，后面持续4天都有效果，所以不用使用过长时间，按疗程用就可以。用药前详细阅读说明书，排除过敏及用药禁忌后遵医嘱，用药期间如有任何不适及时线下就诊。

如果用了3个疗程都没有好，需要停用药，线下就医。同时，注意清淡饮食，多喝水。忌上火，注意保暖。蓝芩口服液可以用于缓解喉咙疼痛，但如果孩子的喉咙没有红肿或疼痛，可以不用服用。